欧拉：1分钟解决e^π和π^e谁大的问题（圆的周长与直径的比是多少比值是多少）

导读圆的周长与直径的比是多少比值是多少~对数让计算变得简单欧拉公式e^(iπ)+1=0，被称为数学中最完美的公式，公式中的e、π、i、1和0五个元素还分别被比喻成射雕英雄传里的五大高手：东邪西毒南帝北丐中神通。鉴于常常有人在后台问超模君，e和π为什么常常会出现在似乎不相关的领域？...

对数

让计算变得简单

欧拉公式e^(iπ)+1=0，被称为数学中最完美的公式，公式中的e、π、i、1和0五个元素还分别被比喻成射雕英雄传里的五大高手：东邪西毒南帝北丐中神通。

鉴于常常有人在后台问超模君，e和π为什么常常会出现在似乎不相关的领域？e和π之间有什么联系吗？e^π和π^e谁大？之类的问题。

今天超模君就给大家扒一扒e和π。

e的出身

说到e，又得提欧拉了，哪哪都有他，真是一个神奇的男子。自然数e正是以

Leonhard Euler(莱昂纳德·欧拉)命名的，取的是Euler的首字母“e ”。

但，事实上第一个发现e的人不是欧拉，而是雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli），伯努利是不是很熟悉？

在17~18世纪，伯努利家族是一个学术世家，雅可比·伯努利是约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的哥哥，而约翰·伯努利则是欧拉的数学老师。

扯远了，我们回到e。要去理解e的话，我们可以从生活中常见的例子讲起，就是银行利率与收益的问题。

假如你有1块钱存入银行，银行同意付给你100%的年利率。

那么当然到了一年后，你手里的钱就增长为（1+100%）=2块钱；

现银行同意按复利计算，把一年期的年利率拆成两个半年期利率50%，那么年底到手的钱为：（1+50%）×（1+50%）=2.25块钱；

现银行按照季度计算复利，那么年底到手的钱为：（1+25%）×（1+25%）×（1+25%）×（1+25%）=2.44块钱；

我们可以看到分的越细，总收入越多。如果把这个复利计算过程继续细分，按天算，年底到手的钱为：

如果在细分为时分秒呢？经过迭代运算，可以得到一下数值：

可以发现结算利率期数n越大，年底到手的钱越多，最终无限接近e值。

也就是说，本金一块钱定了，银行的年利率（100%）定了，无论分多少期结算利息，年底到手的钱无限接近一个值（2.7183）。

e的本质含义就是累积增长的极限，e写成高等数学微积分的形式，也是e的定义式为：

π的出身

说到圆周率就简单了，不就是圆的周长和直径的比值嘛。

圆周率π最早提出来是在1748年，欧拉的代表作《无穷小分析引论》出版，在这本著作里，欧拉建议用符号“π”来表示圆周率，并且直接在里面使用了π。在欧拉的积极倡导下，π才成为了圆周率的代名词。

虽然π的定义很简单，但是关于圆周率的计算却历经了几千年，都还没有算到尽头呀。

最近的记录是今年，3月14日，谷歌宣布圆周率现已到小数点后31.4万亿位。

关于圆周率的计算方法五花八门，甚至到了无奇不有的境界（超模君在去年盘点过的算法传送门）。

说到圆周率还有一个不得不提的人，就是我国的数学家祖冲之。

公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927。正确位数达7位数，在那个时候可以说是非常精准，在之后的900多年都没人打破记录。

祖冲之牛批！

e和π的那些事儿

讲完了e和π的出身了，那么e个π之间是否存在什么关系呢？

毕竟有时候会出现这样的现象：带e的定积分积出来里头有π，而三角函数的积分有一些积出来里头有e。

其实e和π在本质上是没有任何关系的。

之所以出现“带e的定积分积出来里头有π，而三角函数的积分有一些积出来里头有e”这种情况，是因为傅里叶展开与e有关的函数，如e^x或者lnx在傅立叶展开后都可以变成一个三角函数的级数，只要取好合适的积分区间自然会出现π。

加上欧拉用了一条公式把它们巧妙地连接在一起，那条公式就是非常出名的欧拉公式：e^(iπ)+1=0。这让很多人误以为，e和π本来就存在着某种关系。

也有人会不解：为什么e和π会常常出现在那些似乎不太相关的学科呢？比如说物理化学等学科。

那是因为涉及到微积分和指数对数的运算，e和π都喜欢来凑热闹。高斯曾经说过，数学是科学之王。王自然掌控这一切，数学掌控着科学。

e^π 和π^e哪个大？

说到了e和π，自然逃不掉e^π和π^e哪个大的问题。

超模君也准备了好几个比较的方法，最简单的方法当然是计算器啦，拿出你的科学计算器，输入e^π和π^e，即可得到对应的值：

显然，e^π要大于π^e。

好了，今天就讲到这了，别闹，超模君才不会这么小儿科的方法了，下面给大家展示一下逼格稍微高一点的解题方法：

e的定义法，你看这名字，逼格就上来了，顾名思义，用e的定义去解题。

由

得

令

则

即

这个方法，看起来稍微有点复杂，没有那么好理解。

为了让大伙能看明白，那来个简单的构造函数求导法：

设

求导得

在

严格单调递减，因此

可得

这个方法就容易理解一点了。在对比e^π 和π^e的大小的方法中，取对数求导法才是最简单明了的计算方法。

18世纪，欧拉发现了指数与对数的互逆关系。在1770年出版的一部著作中，欧拉首先使用来定义

，他指出：“对数源于指数”。

对数曾经和解析几何、微积分被公认是17世纪数学的三大重要成就，许多科学家对对数的提出表示高度的赞扬。

这里的取对数求导法可见一斑。

先分别取对数

设

则

即

乍一看，e^π 和π^e的值相差很近，但用简单的加减乘除法根本无法完成大小的比较，对数的出现让这一切变得简单。

本来还以为e^π 和π^e哪个大是什么大难题，这不很简单吗？搞得多难似的，超模君8岁的表妹都会比较了，对比e^π 和π^e大小也就是一个一分钟不到的小问题嘛。

欧拉：1分钟解决e^π和π^e谁大的问题

对数

让计算变得简单

欧拉公式e^(iπ)+1=0，被称为数学中最完美的公式，公式中的e、π、i、1和0五个元素还分别被比喻成射雕英雄传里的五大高手：东邪西毒南帝北丐中神通。

鉴于常常有人在后台问超模君，e和π为什么常常会出现在似乎不相关的领域？e和π之间有什么联系吗？e^π和π^e谁大？之类的问题。

今天超模君就给大家扒一扒e和π。

e的出身

说到e，又得提欧拉了，哪哪都有他，真是一个神奇的男子。自然数e正是以

Leonhard Euler(莱昂纳德·欧拉)命名的，取的是Euler的首字母“e ”。

但，事实上第一个发现e的人不是欧拉，而是雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli），伯努利是不是很熟悉？

在17~18世纪，伯努利家族是一个学术世家，雅可比·伯努利是约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的哥哥，而约翰·伯努利则是欧拉的数学老师。

扯远了，我们回到e。要去理解e的话，我们可以从生活中常见的例子讲起，就是银行利率与收益的问题。

假如你有1块钱存入银行，银行同意付给你100%的年利率。

那么当然到了一年后，你手里的钱就增长为（1+100%）=2块钱；

现银行同意按复利计算，把一年期的年利率拆成两个半年期利率50%，那么年底到手的钱为：（1+50%）×（1+50%）=2.25块钱；

现银行按照季度计算复利，那么年底到手的钱为：（1+25%）×（1+25%）×（1+25%）×（1+25%）=2.44块钱；

我们可以看到分的越细，总收入越多。如果把这个复利计算过程继续细分，按天算，年底到手的钱为：

如果在细分为时分秒呢？经过迭代运算，可以得到一下数值：

可以发现结算利率期数n越大，年底到手的钱越多，最终无限接近e值。

也就是说，本金一块钱定了，银行的年利率（100%）定了，无论分多少期结算利息，年底到手的钱无限接近一个值（2.7183）。

e的本质含义就是累积增长的极限，e写成高等数学微积分的形式，也是e的定义式为：

π的出身

说到圆周率就简单了，不就是圆的周长和直径的比值嘛。

圆周率π最早提出来是在1748年，欧拉的代表作《无穷小分析引论》出版，在这本著作里，欧拉建议用符号“π”来表示圆周率，并且直接在里面使用了π。在欧拉的积极倡导下，π才成为了圆周率的代名词。

虽然π的定义很简单，但是关于圆周率的计算却历经了几千年，都还没有算到尽头呀。

最近的记录是今年，3月14日，谷歌宣布圆周率现已到小数点后31.4万亿位。

关于圆周率的计算方法五花八门，甚至到了无奇不有的境界（超模君在去年盘点过的算法传送门）。

说到圆周率还有一个不得不提的人，就是我国的数学家祖冲之。

公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927。正确位数达7位数，在那个时候可以说是非常精准，在之后的900多年都没人打破记录。

祖冲之牛批！

e和π的那些事儿

讲完了e和π的出身了，那么e个π之间是否存在什么关系呢？

毕竟有时候会出现这样的现象：带e的定积分积出来里头有π，而三角函数的积分有一些积出来里头有e。

其实e和π在本质上是没有任何关系的。

之所以出现“带e的定积分积出来里头有π，而三角函数的积分有一些积出来里头有e”这种情况，是因为傅里叶展开与e有关的函数，如e^x或者lnx在傅立叶展开后都可以变成一个三角函数的级数，只要取好合适的积分区间自然会出现π。

加上欧拉用了一条公式把它们巧妙地连接在一起，那条公式就是非常出名的欧拉公式：e^(iπ)+1=0。这让很多人误以为，e和π本来就存在着某种关系。

也有人会不解：为什么e和π会常常出现在那些似乎不太相关的学科呢？比如说物理化学等学科。

那是因为涉及到微积分和指数对数的运算，e和π都喜欢来凑热闹。高斯曾经说过，数学是科学之王。王自然掌控这一切，数学掌控着科学。

e^π 和π^e哪个大？

说到了e和π，自然逃不掉e^π和π^e哪个大的问题。

超模君也准备了好几个比较的方法，最简单的方法当然是计算器啦，拿出你的科学计算器，输入e^π和π^e，即可得到对应的值：

显然，e^π要大于π^e。

好了，今天就讲到这了，别闹，超模君才不会这么小儿科的方法了，下面给大家展示一下逼格稍微高一点的解题方法：

e的定义法，你看这名字，逼格就上来了，顾名思义，用e的定义去解题。

由

得

令

则

即

这个方法，看起来稍微有点复杂，没有那么好理解。

为了让大伙能看明白，那来个简单的构造函数求导法：

设

求导得

在

严格单调递减，因此

可得

这个方法就容易理解一点了。在对比e^π 和π^e的大小的方法中，取对数求导法才是最简单明了的计算方法。

18世纪，欧拉发现了指数与对数的互逆关系。在1770年出版的一部著作中，欧拉首先使用来定义

，他指出：“对数源于指数”。

对数曾经和解析几何、微积分被公认是17世纪数学的三大重要成就，许多科学家对对数的提出表示高度的赞扬。

这里的取对数求导法可见一斑。

先分别取对数

设

则

即

乍一看，e^π 和π^e的值相差很近，但用简单的加减乘除法根本无法完成大小的比较，对数的出现让这一切变得简单。

本来还以为e^π 和π^e哪个大是什么大难题，这不很简单吗？搞得多难似的，超模君8岁的表妹都会比较了，对比e^π 和π^e大小也就是一个一分钟不到的小问题嘛。

探数学文化，启数学之美——以高中数学《割圆术》为例

摘 要：数学在人们眼里可能更像是一种对方程求解的枯燥追求，但数学学科的文化有其独特的视角和魅力。如何自然而然的在数学教学中渗透数学文化，如何借力数学文化进行数学知识的教学，是一线教师数学课堂教学的重要组成部分。本文以高中数学《割圆术》一课为例，以割圆术的历史发展为索，以问题串为引，分享在课堂中启发数学之美的具体案例，丰富教学，启发数学之美。

关键词：割圆术；数学之美；数学文化

一、问题分析

割圆术的历史发展悠久，许多数学家都曾对其进行研究，尤其我国数学家刘徽的割圆术是史上最完备的方法。且，其渗透的数学思想方法---类比，迁移，极限，化圆为方等在整个高中数学中占其十分重要的地位，贯穿了整个高中数学的教学过程。基于此，并结合教材知识及学科要求，通过查询历史资料，设计了该堂课，旨在探索数学文化的过程之中，输出数学知识，渗透数学思想，领悟数学之美，提高文化素养。

二、教学过程

（一）问题引领--启发学生思考

圆周率是非常古老的数学知识之一，很早以前人们就已经掌握了圆周率的数值，千余里年来人类也从未间断过对圆周率的研究，由此可见其重要性。那么学子们就搭乘时间的火车，来一场圆周率π的历史之旅。说起圆周率，就不得不提到一个与它息息相关的图形-----圆。生活中，其实有很多圆。比如天坛，罗马竞技场，福建土楼，广州圆大厦等等。从审美的角度去看，这些建筑都具有对称性；从数学的眼光去看呢？又能启发学生想到什么？圆的周长公式是？面积公式是？都与π息息相关，周长与直径的比就等于π，面积与半径的平方比也等于π，那么究竟π又是如何被计算得到的呢？数学家伍鸿熙先生在其所著《黎曼几何初步》中说过句话:“一个数学工作者的思考,大部分时候是靠直观的想法来向前推进的。”接下来便一起探究一番。

（二）圆周率π的历史之旅--感悟数学文化

本小节以时间为序，从历史发展的角度缓缓讲述圆周率的发展史。

第一站：“周三径一”

第一部有关圆周率的记载出自《周髀bi 算经 》，它提到 “周三径一，远近乖於[yú] 辰极；东井南箕[jī]，曲直殊於河汉。”第一句话--“周三径一”它的意思是圆的周长为三时，直径为1，体现了圆的周长是直径的三倍，换句话说，周长与直径的比值等于三。其实本质就是表明了π等于三。这是早期人们对圆周率的初探。

图2-2-1：周髀算经

第二站：“周三径一而有余”

随着时间的推移，逐渐涌现了很数学家对此产生怀疑。后有人提出“周 三 径 一而有余”，意思是：圆 的 周 长 是 圆 直径 的 三倍 多 ， 但是 具体多 多 少 ， 意见没有得到统一 。教学过程就来到了第二站：“周三径一而有余”本站通过小组活动进行探究：那么究竟周长/直径的比值到底3余多少？是否为定值？通过学生活动做实验的方式进行验证。小组探究：

图2-2-2：小组探究工具样本

需要工具如下：细线、直尺。活动任务：①测量3个圆片的周长和直径；②求出它们的比值；③并上黑板完成excel表格。

小组	周长（cm）	直径（cm）
5

表2-2-2：小组活动所需表格

首先，老师提出问题1：同学们是怎么利用细线来测量圆的周长呢？提出问题2：观察，这个比值是各不相同的，但都是三点几，在一定程度上验证了“周 三 径 一而有余”。但理论上来讲，这个比值是个定值。此时追问，提出问题3：可为什么算出来并不统一呢？是哪个环节出了问题吗？并在之后进行解答：这是因为在实际测量过程中极其容易产生误差，比如刚刚提到的方法的选择的不同，测量不准确，都会导致之后的计算也不准确。

这就大大刺激学生的求知欲，要寻求新的有效的方法来解决这个问题。在课件已经提到了，圆周率除了和圆的周长有关，还跟圆的面积也有关。埋下的伏笔也为后面课程的顺利进行提供了一个先决条件。

若：如果取圆的半径为1时，那么这个圆的面积之比就是圆周率π哦。换句话说。当圆的半径为1时，只要求出圆的面积，这个数值就等于圆周率的大小。此时提出关键问题：那新的问题又来了，如果不借助π，又该如何计算圆的面积呢？

第三站：“刘徽--割圆术”

本节课就在这样的悬念下进入第三站的学习：刘徽--- 割圆术，这就不得不提到中国史上一位著名的数学家---刘徽！

刘徽用了什么方法？具体阐释一下，这个方法主要怎么操作的？将圆转化为正多边形，这个方法我们称之为化圆为方。它为何要这么做？算圆的面积为啥要去转化为正多边形的面积呢？刘徽的他的目的是将未知转化到已知，将不可算的面积转化到具体可计算的面积上来，真是拥有大智慧！只要随着正多边形的边长越来越多，那么面的面积和其内接正多边形的面积就会无限逼近！无限接近-体现的便是高中重要的思想方法之一：极限思想。

那么站在刘徽这位巨人的肩膀上，让学生们通过特殊到一般，类比的思想计算其他多边形的面积，那随着正多边形的边长逐渐变多，为n时，其面积为多少？为2n呢？

对于这个问题的解决，通过借助计算机所设计的小程序，让学生直观的观察感受，随着边数的增加，数值越来越接近圆周率π的准确值。

但是，这种用正多边形面积方法仍旧有个弊端，启发学生思考：学生所计算得到的面积一定小于实际圆的面积哦！那如何解决这个问题，是计算的精确度更高呢？这个问题当然难不倒刘徽，我相信也难不倒在座的各位，如果内接正多边形的面积小于圆的面积，如果可以换一个方向，把内接改为外接来研究一番？

由此可得出，圆的面积就在内接外接多边形面积之间，再次给圆周率限定了更为精准的范围。那么这种方法，称之为“内外夹逼”。

刘徽的割圆术是历史上第一个完备性最好的求圆周率的方法。他通过化圆为方和内外夹逼这两种方法，化身为人体割圆机器，硬是将圆隔成了正3072边形。但是刘徽没想到的事，他通过一次次割圆而求出来的数值，却随了别人的姓。

第四站：“数学史上的创举--祖率”

学生此时十分好奇。教师可适当卖一下关子，停顿片刻，再道：南北朝时期的数学家祖冲之。这就是第四站：数学史上的创举——“祖率”。祖冲之算出圆周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。祖冲之还给出圆周率(π)的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确到小数第7位。祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“约率”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。

图2-2-4：祖冲之

在中国，圆周率又被称为“祖率”，这是人们为了纪念祖冲之而命名的。确实，祖冲之在圆周率上的成就是不可比拟的，他通过坚持不懈的计算，大约算到24576边形，从而将圆周率精确到了小数点后七位，也就是我们平时能朗朗上口的3.1415926。这在当时古代来说，已经在世界上处于领先的地位，足足早出别的国家一千多年！遥想当年，什么工具都匮乏，刘徽以及祖冲之这些数学家居然能有如此妙想，并且还花费如此多的时间来不厌其烦的计算这些枯燥的数值，这样的精神，着实让让人敬佩！

（三）作业布置--巩固知识

1.例题演绎：若圆的半径为1：设圆内接正多边形为正六边形时，试试算出它的面积？若已知圆内接正十二边形的边长为X12你能表示出圆内接正十二边形的面积吗？还有其他方法吗？

图2-3-1：例题1

2.实战练习：若圆的半径为1：设圆内接正多边形为正n边形时，已知边长为Xn，试试算出它的面积？试用圆内接正多边形为正n边形的面积表示出圆内接正2n边形的面积吗？

图2-3-2：例题2

链接高考：在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将-个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin3°的近似值为多少(兀取近似值3.14)

三、结束语

这堂课是笔者上过的一堂公开课，并经过了反复的打磨和专家点评，整体效果较好。而笔者本身对这堂课也印象深刻。传统的课堂枯燥无味，而这堂课却让同学们迸发了学习的热情，激发了学生的学习兴趣。反观整个教学过程，像一趟历史之旅，而教师不过是一个导游的角色，带领学生领悟沿途美丽的风景，见识名人名家的故事，了解一个符号，一个公式背后的来之不易与锲而不舍的探究，笔者认为这是教育更好的载体。观其源可以知其流,而因其流亦可溯其源，数学文化具有多元性丰富性，作为一线教师的一员，还需要继续深入挖掘数学文化的教育功能。

参考文献：

[1]高鹏飞.具身道德:学校体育何以“立德树人”的困境与治理[J/OL].体育与科学,2020(02):80-86[2020-04-16].

[2]李印臣,刘亚平.新时代小学生命教育与语文教学有效融合实践研究[J].学周

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圆面积公式是什么？请写出答案和详细推导步骤

点开了这篇文章，说明你有很强的好奇心；能坚持把文章看完，说明你很有耐心；点赞转发说明你很有爱心；留言互动说明你很善于交流，如果答对了题目，说明你就是高手。

图片来自网络

招聘面试的时候，遇到面试者说得最多的一句话就是：离开学校时间太久了，这些知识平常接触得少，都忘记了。

笔者认为有些知识点忘记了很正常，用到的时候再去查相关资料就行了。有些知识如果不是靠死记硬背，而是真正消化理解了，可能一辈子都不会忘，哪怕有些公式和结论忘记了，思考的逻辑和方法也不会忘，这些思考的逻辑和方法才是最重要的。

学校里学什么？从小学到大学，要上很多课读很多书，包括各种基础学科、理论知识和专业知识。离开学校参加工作后，在实际工作中有些知识会经常用到，大部分知识很少会用到，不常用的很多知识就会逐渐被遗忘。有人会问，花那么长时间，下那么大工夫学的一些知识都用不上，岂不是浪费？其实不然，学校里书本上学到的最重要的知识是思考问题的逻辑和方法。有些基础知识是认识世界解决问题的原始依据，比如一些公理和定义；有些知识是前人经过实践总结出来的经验，比如一些定律和公式，既是结论也是更高级知识的基础和依据。

苹果从树上掉落到地上是一种自然现象，没学过物理的人，只是觉得理所当然，不会去思考为什么，学过相关知识的人知道是地球引力的作用。如果要进一步研究苹果掉到地上，是苹果被砸烂还是把地上砸出多深的一个坑，还需要用到更多的力学知识，这个时候可能要去查一些资料和计算公式了。

图片来自网络

高等数学里公认比较难学的微积分，如果理解了其基本的概念和用途，其推导的过程就不会忘记，一些具体的公式会忘记，可以分析推导出来，至少也知道去哪查找答案。

所以，读书有用，真正掌握了的知识不会忘，思考的逻辑和方法最重要。

好了，回到文章题目中提出的问题。

想必大部分人都能想起来，圆的面积公式： S =πr^2。

其中：S代表圆的面积，π是圆周率，r是圆的半径。

接下来如何推导这个公式呢？有兴趣者可以先自行推导之后再往下看或者边看边想，建议最好在看到最后答案之前先有自己的答案，可以比较对照。为了给大家有思考和解答的时间，我们先聊一下之前发生的一些事。

一天晚上，笔者把这个题目同时交给设计部门四位年轻工程师，反应各异。

A工程师说从来没有想过这个问题；B工程师说印象中在哪里看过或听别人讲过，可能要用到微积分的知识；C 工程师觉得比较无聊，不屑一顾；D工程师自信心不足，反应比较冷淡。

我交待他们利用下班时间仔细思考一下，就当换换脑子，明天给出答案。

第二天，我找A工程师要答案，A说有大致和他人讨论了一下，自己也作了一些思考，接着把他的想法解释了一遍。

A的答案基本正确，但逻辑不是很严谨，存在有一些漏洞。其它几位工程师则以各种理由没有给出答案。

A相对比较积极，愿意开动脑筋，存在的主要问题是没有将推导步骤详细写下来并进行仔细推敲，导致出现逻辑上的纰漏。其他人则可能认为与工作没有关系，没有引起重视。如果是面试，笔者认为A是可造之才，其它人当然也不会让面试官引起重视。

从四个人的不同表现来看，归纳起来存在以下几个方面的问题：

1、缺乏好奇心。

好奇心是个体遇到新奇事物或处在新的外界条件下所产生的注意、操作、提问的心理倾向。好奇心是个体学习的内在动机之一，是个体寻求知识的动力，是创造性人才的重要特征。

好奇心是认识事物最原始最本能的驱动力，小孩子天生就有很强的好奇心，初来咋到人世间，对身边的一切都充满了好奇，“十万个为什么”让很多年轻父母很伤脑，如果在这个时期父母能够正确应对并加以引导，保留住孩子的好奇心，对小孩今后的成长无疑会有很大的帮助。

其实人们喜欢做某些事情最初的动力也是出于好奇，很多伟大的发明开始也是源于好奇，著名科学家可以说都是极具好奇心的人。牛顿对一个苹果产生好奇，于是发现了万有引力；瓦特对烧水壶上冒出的蒸汽也是十分好奇，最后改良了蒸汽机；爱因斯坦从小比较孤僻喜欢玩罗盘有很强的好奇心；伽利略也是看吊灯摇晃而好奇发现了单摆。这些科学家的故事在小学课本上就出现过，只可惜很多人记住了故事的内容，没有领会故事的内涵。

机械设计工作是一项创造性的工作，作为机械工程师要有一颗强烈的好奇心。

记得二十年前，部门领导说要从我们所在的自动化设备开发部门派人去支援刚成立的SMT部门，当时笔者几乎对SMT一无所知，但强烈的好奇心，主动第一个表示愿意。后面的工作让让对SMT有了很直观的了解和认识，不仅了解了相关的工艺制程和设备，还从这些先进设备中学到了不少的设计理念。

2、不愿尝试。

尝试就是试着去做以前没做过且结果不确定的事情。很多事情，尝试一下，可能并不像你想象的那样简单，也并不像你想象的那么复杂。尝试强调的是行动，没有行动就永远没有结果，做过了无论结果如何，从知识和经验的角度来看，总是一种成长。比如我们文章描述的这个题目，看起来很简单，但是要把整个的推导过程很严谨地写出来并不是每个人都可以很快就做得到做得好。

机械设计尤其是非标设计很多项目于工程师个人来讲从来没有接触过，尽管可以通过各种技术手段和方法进行分析预估可能存在的风险，但也会有很多意想不到的细节问题导致结果的不确定性，需要工程师有挑战自我的勇气。挑战自我、不断尝试是工程师获取新知识、提升能力的必由之路。

3、实用主义。

认为有用的知识就学，没有用的知识就不学。听起来似乎也没错，问题是到底哪些知识是有用的呢？等要用到的时候再去“临时抱佛脚”，恐怕有点来不及了。作家不会等到想好了要写什么再去读古典名著读唐诗宋词。很多人在工作中遇到困难了，才会发现知识不够用了，才明白“书到用时方嫌少”。

知识是否有用是相对的。企业招聘都是要求应聘者具备相关的知识和技能，所以你必须先具备了某些知识你才能应聘到相应的岗位，进入到相应岗位你所掌握的知识就有可能用得上了。很多的工作也是因为你具备了相关的知识和技能才有机会去做的，“机会是留给有准备的人的”。

十多年前，小轿车开始进入家庭但还不是很普及，很多人开始练车拿驾照，但有人总是说既买不起车也不开车，学它干什么？后来很多人原本没有买车的计划也因为拿了驾照买了车。直到十几年后的今天小轿车很普及了，当初说学车无用的人也一直没有去考驾照当然也没有买车，原因不是买不起车，而是觉得买车没有用。其实开车和不开车最大的区别是心理距离改变，不开车，10公里的距离会觉得很远，有了车30公里的距离可能也觉得不算太远，这个心理距离的改变会直接影响你的工作和生活。

富士康总裁郭台铭有句名言，“先知先觉，后知后觉，不知不觉”，是针对宏观经济变化、科技发展、企业发展来讲存在的三类人，其实寻常百姓对周边所发生的事情何尝不是这样，QQ、网购、支付宝、微信、滴滴打车，以及未来的5G的应用，科技的发展日新月异，无时无刻不在影响每一个人的工作和生活，越早接受越能体验高科技带来的红利和便利。

当然也并不是说什么知识都要毫无目的去学，毕竟人的时间和精力都是有限的，最好是结合自己的兴趣爱好以及职业规划，来制定自己的学习目标和计划，尤其是专业类的知识一定要与自己当前的工作和未来职业规划联系起来。

无论从事什么样的工作，都需要在平时不断地学习和积累，不仅要有专业的知识，还需要掌握很多相关的知识，所以知识的学习不能局限于专业知识，有些知识本身就是教人如何去学习和思考的，无论你从事什么样的工作都是有所帮助的，对于这类知识恐怕就是开卷有益多多益善了。

4、不愿究根到底。

表现在对知识的学习浅尝辄止不够深入，不愿意作深入探究，这样不利于知识的学习，学到的知识也不牢；看问题不够全面，只看到表面现象，看不到问题的本质，这样不利于问题的解决，解决也不彻底。只有究根到底，对所学的知识有足够深入的了解，才能融会贯通，才能由此及彼，才能使问题从根本上得到解决。

要做好一项工作一件事情必须要有目标要有结果，要有不达目的不罢休的决心。没有这样的决心，很多事情就容易半途而废前功尽弃。人们常说“不到长城非好汉”，就是对这种“死磕”精神的诠释。

做机械设计就需要有这种“死磕”的精神。设计的本质就是依据各种限制条件和有限的资源进行平衡取舍的过程，在方案设计阶段不仅要面对解决技术上的各种问题，还要满足客户不同人的各种想法和要求，每一个人看问题的角度不同，所关注的侧重点也不同，都需要工程师有“死磕”精神去面对和解决。在设计细化、调试的过程中也会遇到各种意想不到的问题，需要工程师去究根到底，找到问题的根源，才能最终解决问题。

5、好高骛远。

对自认为简单的事情不屑去思考和动手去做，一心想着去做“大事”，不愿意在小的事情上花时间和精力，诸不知大事是由很多小事组成的，复杂的事物是由很多简单的事物构成的。

古人说，“一屋不扫何以扫天下”， 意思是说做人做事要脚踏实地，一步一个脚印，不能好高骛远，眼高手低，光说不练。做很多事情是从最基础的事情做起的，所谓“万丈高楼平地起”。

复杂的机器也是由很多简单的零件和部件组成的，机器最终的性能取决于各零部件的性能，很多项目的失败往往出在很多小的细节上，所谓“魔鬼出在细节里”。

评价一个设计好不好，是在满足功能的前提下结构越简单越好，而不是越复杂越好。简单的结构实现复杂的功能才更体现工程师的实力，所以工程师要脚踏实地，从简单的事情做起，把简单的事情做得“不简单”（不是复杂化，而是要下功夫才能做到），注重知识和经验的积累。

6、思维逻辑不严谨。

严谨的思维逻辑是把事情做好的先决条件。做任何事情都需要有好的逻辑和方法，否则就会漏洞百出。

逻辑思维能力是指正确、合理思考的能力。即对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的能力，采用科学的逻辑方法，准确而有条理地表达自己思维过程的能力。它与形象思维能力截然不同。逻辑思维能力不仅是学好数学必须具备的能力，也是学好其他学科，处理日常生活问题所必须的能力。数学是用数量关系（包括空间形式）反映客观世界的一门学科，逻辑性很强、很严密。

逻辑思考能力的培养首先是平时养成习惯，注重逻辑思考能力的培养，还要掌握一定的方法。

本文所出的题就是涉及初中所学的内容，主要就是检验工程师的逻辑推理能力。

提到初中数学，很多人会马上蹦出一句话来，“代数代数，撕了再做，几何几何想破脑壳”，听老师讲的时候不觉得有多难，但往往一做就不会，对于稍复杂的题目更是无从下手。几何证明成为教学中的一个难点，也是学生成绩提高的一大障碍。

要证明一个命题的正确时，先从已知的条件出发，通过一系列已确立的命题（如定义、定理等），逐步向前推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法，叫做综合法。可简单地概括为：“由因导果”，即“由原因去推导结果”。

要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们的成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这样思维方法，就叫做分析法。可简单地概括为：“执果索因”。即“拿着结果去寻找原因”。

分析法的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条件，直至寻求到已知条件上。综合法的特点是从已知条件开始推演，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果。证几何题时，在思索上，分析法优于综合法，在表达上分析法不如综合法。分析法利于思考，综合法宜于表述，在解决问题中，最好合并使用。对于一个新问题，我们一般先用分析法寻求解决，然后用综合法有条理地表述出来。

以上的方法是不是很熟悉，是不是我们在设计和解决问题的过程中经常要用到的，这就是我们所说的逻辑思考方法。

逻辑思维能力和空间想象能力是从事机械设计工作必须具备的基本技能。根据客户需求拟定功能设计要求，再将功能进行分解，设计相应的部件和零件。很多设计做出来以后并不觉得有多难和多新奇，但是从无到有是一个很复杂的过程，需要工程师要有很强的综合能力，其中很重要的能力就是逻辑思维能力。思考逻辑不足或不严谨会给设计带来很大的困难，造成极大的风险。

7、封闭型（抗拒性）思维。

不管别人的建议、要求、观点是否正确合理，首先表现出来的是抵触的情绪和抗拒的态度，不等别人把话说完就先怼了回去再说，是一种典型的抗拒性思维。有这种思维的人往往固执己见，自我封闭，不太容易接受别人的观点，很难接受和获取新的知识，不太容易从别人身上获得帮助。

思维方式是看待事物的角度、方式和方法，它对人们的言行起决定性作用。不同的思维方式决定着不同的言论和行动，成就不同的人生。

抗拒性思维的特点就是别人说什么，他都说“NO”。一个人如果拒绝接收信息，就可以找出各种理由来说“NO”。抗拒性思维是把事物彼此割裂开来、孤立起来、封闭起来，使思维具有保守性、被动性和消极性的形而上学思维。

与之相反的是开放性思维。所谓开放性思维，是指突破传统思维定势和狭隘眼界，多视角、全方位看问题的思维；开放性思维本质上具有反教条和实事求是的特征。具备了开放性的思维方式，就能够不断地有所发现、有所发明、有所创造、有所前进。

开放性思维要求我们在认识事物的过程中，突破传统的狭隘观点，摒弃规规矩矩的简单继承手段，以一种开放、包容的态度接触和认识事物，从而力图有所创造，这点对于个人的成长和社会的进步都是十分重要的。

保持开放性思维，因为你会发现原来的世界就像“坐井观天”故事里的那口井，一直以为那就是世界的全部。而当你走出来，或者说拥有“开放性思维”，你会发现，世界是那么的精彩斑斓，远比那口井要大太多！

机械设计是一项创造性工作，需要工程师具有开放性思维和开放的态度。尤其是在科技发展日新月异的今天，更加需要以开放性的思维去接受扑面而来的新观念、新技术，去学习和掌握更多的新知识和技能。机械设计经常需要脑力激荡，融合多人的想法，依靠团队的集体智慧才能有更好的创意，找到最佳的方案。不仅如此，工程师还要以开发的态度主动与他人交流，去请教有经验的的设计工程师、现场装配的工程师，还包括现场的使用者、零件供应商，在解决问题的同时学到更多新的知识。

孔子说“三人行必有我师”，从字面上的理解就是，三个人在一起，其中必定有人在某个方面是值得我学习的，那他就可当我的老师，当然，这里的“三”应该作为虚数，泛指多人。孔子深层的意思是说，学无止境，不管一个人的学问多大，总有你不擅长的地方，不应该因为某一方面比别人强就骄傲自满，要具有虚心向别人学习的态度，

俗话说“天外有天，人外有人”， 自己的才华能力再高，在这世上也有比自己更有才华的人。这句的意思是告诉人们：强中更有强中手，一山还比一山高。

8、没有好的做事方法。

很多人做事，效率低下，问题多，丢三落四，顾此失彼，其实是没有找到好的做事方法和习惯。

好的做事和学习方法是把工作完成好和自我提升的必由之路。做任何事情都要讲求方法，做机械设计更需要讲方法。

比如说养成记录的习惯就是一个好的方法。设计中有什么问题不一定马上解决，但必须先记录下来；现场发生的什么问题，怎么解决的要记录下来；与客户沟通，沟通的内容包括客户提出的问题要详细记录下来；有了好的设计灵感了也要马上记录下来；记录下来的目的是防止遗漏、遗忘，便于归纳总结。

具体关于机械设计的方法不是本文的重点，可关注机械设计轻松学公众号查阅学习。

9、缺乏学习的主动性

学习有主动学习和被动学习之分。在学校里有的学生是有自己的目标和规划，除了完成正常的学业外，还能主动学习课外知识和其他相关专业的课程。有的学生则是除了上课应付老师布置的作业，其它时间则是“享受学生时代的美好时光”。工作后的主动学习者，有自己的职业规划和清晰的目标，提前补足自己的短板，等到要用的时候驾轻就熟。

工作后学习与在学习里学习有很大的区别。工作后的学习更强调学习自觉性。最显著的特征是在学校里学习是要缴费的，而在工作中学习是拿工资的。学习里是按照教学大纲的安排，老师照本宣科去授课，学生按部就班来学习。工作中的学习则是在承担任务的过程中，遇到问题要解决，随时需要用到新的知识，具有很强的随机性，必须具备较强的学习能力和领悟能力。

以上问题并非上纲上线，只是借此来说明工程师比较普遍存在的一些问题。

在看到答案之前，我们还探讨一个问题，作为对前面问题的补充说明。华为、阿里巴巴等高科技企业为什么只招211、985等名校的学生？一般来说，刚参加工作的学生，实际工作经验基本上都为零，即使参加过工厂实习和社会实践，哪怕跟着导师做过一些题，所积累的工作经验微乎其微。准确答案无从得知，个人的观点是看重学生的以下一些特质：

1、理论基础知识比较扎实。对自己所掌握的知识有比较清晰的认知，会就是会不会就是不会。

2、思维活跃，有较强的接受能力和领悟能力。

3、有较强的自我控能力，有较好的学习态度，学习主动，勤学好问，努力刻苦。

4、自学能力强，有较好的学习方法。善于对知识的梳理归纳和总结，有明确的学习目标和规划。

5、善于独立思考，逻辑思维能力强。

6、有较强的自信心、上进心和不服输的精神。

7、有自己的理想和追求，对自己有较高的要求。

无论从事什么样的工作，从选才的角度来讲具备以上特质都是受欢迎的，如果不考虑成本的话换了任何一个企业都会做出这样选择。

当然并不一定是说所有重点名校的学生都具备以上一些特点，而其他大学的学生都不具备。我认为这些公司是从大概率的角度来看问题，公司有了吸引了又不差钱当然是优中选优了。

一般学校毕业的学生也不必气馁，知道了企业需要什么样的人才，知道了要成为人才需要具备什么样的特质，就可以朝这个方向去努力。无论你在什么样的公司，处于什么样的岗位，只要保持一颗学习的心、进取的心就一定能把自己的才能发挥出来，俗话说“是金子总会发光的”。

好了，下面开始答题。首先声明，答案并非唯一，（网络上有另外一种方法姑且称之为切分拼凑法）本人认为解决同样的问题用到的知识越基础越好，用到的方法越简单越好。所以这里主要用到初中知识和常规方法，有兴趣者可以用更多其他方法，尽量详细严谨。

回顾一下，圆的面积公式： S =πr^2

其中：S代表圆的面积，π圆周率，r是圆的半径。

先来了解什么是面积？

图片来自网络

百度词条里的定义：面积是表示平面中二维图形或形状或平面层的程度的数量。我的理解是：平面内某一确定范围内包含单位形状大小的数量，如以毫米为单位，则是平面内某一确定范围内包含长宽为1毫米正方形大小数量，面积以平方毫米为单位。以米、公里等其它长度为单位依次类推。

我们来看看长方形的面积。假定长度a=6，宽度b=5，该长方形的面积S=a*b=6*5=30。从图１中可以看出长方形内小正方形的数量就是30。

我们再来看看三角形的面积。底边a=6，高b=5，我们将三角形补正为长方形，如图2，该三角形的面积,：S=a*b/2=6*5/2=15。

好了，我们记住三角形的面积公式：S=a*b/2。可记成：底乘以高除以2。

π为圆周率，是圆周长与直径的比值，即π=L/D，其中：L为圆的周长，D为圆的直径。

无论圆的大小如何变化，π始终是一个固定值，我们可以理解为是圆的一个特性。

将公式转换：L=π*D=2πr 其中：r为圆的半径。

画一个圆，然后以过中心的线段将圆分别切分成12等分，如图3，圆的面积等于切分后这些小的扇形面积之和，这个结论总是成立，与将圆切分多少等分没关系。

扇形面积我们不知道，但前面我们已经知道三角形的面积公式。

如图4，三角形OAB的面积与扇形OAB面积相差一个弓形的面积，如图5所示阴影部分。如果阴影面积越小，三角形的面积与扇形的面积相差越小。

如图6，以过中心的线将圆分别切分成12、36、90等分。切分的的等分越多，A、B两点之间的距离越小。当切分的等分数多到一定程度时，三角形面积与扇形的面积很接近，我们就可以用三角形OAB面积来代替扇形OAB的面积。

切分的等分数用n来表示。

如图5所示，

三角形面积：SOAB =│AB│*│OC│/2

则圆的面积：S≈SΔOAB *n=│AB│* │OC│/2*n （1）

当圆被切分无限多等分时，也就是n趋于无穷大，则：

（1）A、B两点之间的距离趋近于零（但不等于零），那么A、B两点间的距离（弦长）与弧长几乎相等。将每一个小三角形QAB中A、B两点之间的距离全部相加就是圆的周长，即 L=│AB│*n=2πr （2）

（2）OC与OA 相等，即：│OD│=│OA│=r （3）

将（2）、（3）式分别代入（1）式

圆的面积S=│AB│*│OC│/2*n=(│AB│*n)*│OC│/2= L*r=2πr*r/2=πr^2 （4）

至此，推导完成。

这个题目很简单，写出答案并不难，主要是考察答题者的思考逻辑和做事的态度和方法，是否能做到思路正确，逻辑严谨。将推导过程详细写下来的好处，一是可以反复推敲，避免漏洞，使过程更清晰完整；二是考察表述能力，完整写出来比想和说更有难度，所谓“做到比光说不练难”。

本文目的不是给读者上一堂初中数学课，笔者想借此表达如下观点：

1、在学校里所学的知识，如果真正融会贯通了，一般不会忘记；

2、思考逻辑和方法是学校学习的重点，无论从事什么样的工作都会有用。

3、分享一种做事的方法和做事的态度。

说明：本文首发于同名公众号《机械工程文萃》，转载时有少量修改。

后记：时隔一段时间再读原来写的文章，发现文章中一些文字表述方面的问题，正如笔者看别人写的文章，越细读越斟酌觉得问题越多。其实我们写文章也好做机械设计也好都有类似的现象。

文章发布出来一是分享自己的一些观点，二是抛砖引玉，欢迎读者留言讨论，赐教斧正。

笔者在网络上看到有另外一种推导圆面积公式的方法，姑且称之为切分拼凑法，读者可自行百度搜索学习。